大家好，我是小夏，我来为大家解答以上问题。对数的运算法则及公式证明，对数的运算法则及公式很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、①loga(MN)=logaM+logaN； 　　②loga(M/N)=logaM－logaN；    ③对logaM中M的n次方有=nlogaM； 　　如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数 　　的底。

2、定义： 若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b) 　　基本性质： 　　a^(log(a)(b))=b 　　2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 　　3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 　　4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 　　5、log(a^n)M=1/nlog(a)(M) 　　推导： 　　因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。

3、 　　2、MN=M×N 　　由基本性质1(换掉M和N) 　　a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] 　　由指数的性质 　　a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 　　又因为指数函数是单调函数，所以 　　log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 　　3、与（2）类似处理 MN=M÷N 　　由基本性质1(换掉M和N) 　　a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 　　由指数的性质 　　a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 　　又因为指数函数是单调函数，所以 　　log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 　　4、与（2）类似处理 　　M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 　　由指数的性质 　　a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 　　又因为指数函数是单调函数，所以 　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 　　基本性质4推广 　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 　　推导如下： 由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 　　换底公式的推导： 设e^x=b^m,e^y=a^n 则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y x=ln(b^m),y=ln(a^n) 得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 　　由基本性质4可得 log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]} 　　再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]。

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。