平行四边形的判定有几种方法（平行四边形的判定）

导读大家好，我是小夏，我来为大家解答以上问题。平行四边形的判定有几种方法，平行四边形的判定很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！1、...

大家好，我是小夏，我来为大家解答以上问题。平行四边形的判定有几种方法，平行四边形的判定很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、是啊，你自己都说了不能靠边边角来判定全等的嘛，问题就在这个地方啦，因为凹四边形的情况就很显然！我研究了一下，凸四边形也是可以做到的。

2、实际上如果这对等角不是锐角就可以断定这是一个平行四边形了。

3、一楼的做法我很不赞同呢，数学要求的是严格，怎么可以凭直观来判断？这是大忌！姐姐告诉你怎么构造。

4、就此，我专门写了一个小专题，从初等几何作图切入，进行了一番讨论。

5、希望楼主耐心看完，我想你就对这个问题会十分清楚了！下面的部分是我用WORD写的：问题：在一个四边形中，若有一组对边相等，一组对角相等。

6、能否断定它是平行四边形？一般来说，要断言一个四边形是平行四边形，我们可以根据定义，去设法证明它两组对边平行，或根据一些判定定理，如设法找出它的一组对边平行且相等或两条对角线互相平分等。

7、实际上这些判定定理都可以最终根据全等三角形的判定回到平行四边形的定义上得到证明。

8、在这个问题当中，只有一组相等的对边，一组相等的对角，关于这个四边形的其他任何信息都没有，这时直接证明起来就会遇到困难。

9、所以我们换种方式，利用几何作图来构造一个满足条件的四边形（即有一组对边相等，一组对角相等），去探讨这四边形可能的形状。

10、下面来讨论这个问题。

11、给出已知角α和已知线段长L，作一个凸四边形ABCD，使AB边与对边CD长为L，且∠A=∠C=α（这里我们先假定α为锐角，α单位为“度”），同时ABCD不是平行四边形。

12、为了对本篇开头的问题给出一个明确的答案——无法断定它是平行四边形，我直接提出了上面这个作图问题。

13、这里我先给出一个作法如下： 1．作∠PAQ=α，在射线AQ上截取AB=L。

14、 2．作BF⊥AP，垂足为F。

15、分别在线段AF和线段AF的延长线上取点E、D，使EF=DF，且∠EBF<α/2（显然，只要EF足够短，这总是可以办到的）。

16、 3．连结EB、DB，作∠DBS=∠BEA，并在射线BS上截取BC=EA，连结CD。

17、则ABCD即为所求凸四边形。

18、证明：因BF垂直且平分线段DE，所以BD=EB 又∠BEA=∠DBC，EA=BC 故△BEA≌△DBC（SAS）那么AB=CD=L，∠A=∠C=α 下面证明ABCD为凸四边形设∠AEB=β，∠EBF=θ，则∠ABE=180°—α—β 由于BF为等腰△BDF底边ED上的高，所以∠EBD=2∠EBF=2θ 于是∠ABD+∠DBC=∠ABE+∠EBD+∠DBC=(180°—α—β)+2θ+β=180°—(α—2θ) 注意到θ<α/2，所以α—2θ>0，那么有： ∠ABD+∠DBC<180°=∠ABD+∠DBQ，即∠DBC<∠DBQ，这说明C、D两点位于直线AB同侧作射线BT‖AP，因∠EBC=∠EBD+∠DBC=2θ+β>β=∠EBT，故射线BC位于BT与BQ之间，这说明B、C两点位于直线AB同侧，于是ABCD为一凸四边形若ABCD为平行四边形，那么AD‖BC，∠AEB=∠EBC=β，这与∠EBC>β矛盾，故四边形ABCD不是平行四边形。

19、讨论：（Ⅰ）先来讨论为使ABCD为一凸四边形，线段EF究竟要有多短，即它的取值范围。

20、有以下关系：BF=ABsinα=Lsinα，EF=BFtanθ，将这两个式子联立，得到如下等式：EF/Lsinα=tanθ。

21、由以上证明可以看到：为使ABCD为一凸四边形，应有2θ<α，因为α是锐角，这等价于tan2θ<tanα。

22、由倍角公式，有： tan2θ=2tanθ/1—tan^θ= (2EF/Lsinα)/(L^sin^α/ L^sin^α—EF^) =2EF*Lsinα/ L^sin^α—EF^<tanα，化简此式，得到： EF^+2Lcosα*EF—L^sin^α<0，解得：0<EF<L(1—cosα)=AB—AF 由此可见，只须取EF< AB—AF就可以使四边形ABCD为一凸四边形。

23、实际上，EF< AB—AF即AD<AB。

24、所以在作图时也可直接在AP上截取AD，使AF<AD<AB即可。

25、由以上讨论可以看到：D点位置的选取对ABCD能否成为一四边形以及成为什么样的四边形至关重要。

26、对此详细讨论如下：（Ⅱ）D点位置对ABCD形状的影响： ①若AF<AD<AB=L，由（Ⅰ）知ABCD为一凸四边形； ②若AD=AB=L，此时有2θ=α，那么∠ABD+∠DBC=180°，于是C在AQ边上，ABCD退化为一个等腰△DAC； ③若L<AD<2Lcosα（之所以要限定AD<2Lcosα，是为了保证E点在线段AF上），则C、D位于直线AB异侧，此时ABCD为一满足条件的凹四边形。

27、（Ⅲ）我们来讨论下（Ⅱ）中的极限情况： ①AD=AF。

28、此时，D点合于F点，E点也合于F点，我们有：∠AEB=∠AFB=∠FBC=∠DBC=90°，进而有AD‖BC，AD＝BC，于是ABCD为一满足条件的平行四边形。

29、 ②AD=2Lcosα。

30、此时，E点合于A点，由于BC=EA，于是C点也合于B点，那么ABCD退化为一个等腰△ABD，腰长为L，底角为α，它与（Ⅱ）中的等腰△DAC是全等的。

31、（Ⅳ）针对α不是锐角的情况做一些说明。

32、因为四边形的内角和为360°，作为一组相等的对角，我们自然假定α<180°，于是ABCD只能为凸四边形。

33、分以下两种情况讨论： ①若α为直角，那么在Rt△DAB与Rt△BCD中，有一对直角边和斜边对应相等，于是Rt△DAB≌Rt△BCD（HL），进而可以得到ABCD为一平行四边形（矩形）。

34、 ②若α为钝角，那么在△DAB中，由正弦定理，有：BD/sinA=AB/sin∠ADB。

35、在△BCD中，有BD/sinC=CD/sin∠CBD。

36、由于∠A=∠C=α，AB=CD，所以sin∠ADB= sin∠CBD。

37、又∠ADB、∠CBD均为锐角，故∠ADB=∠CBD。

38、这样即可断定△ADB≌△CBD（AAS），进而得到ABCD为一平行四边形。